2.3.1 Logistic回归

更新日期

2026年10月20日

下面这些医学研究问题，都把结局分为两类：

哪些术前因素与术后是否发生并发症有关？
某种暴露与是否出现感染有关吗？
综合患者的临床特征，能否计算规定随访期内再次入院的概率？
影像特征与病理诊断为恶性而非良性有怎样的关联？

Logistic 回归把二分类结局与一个或多个解释变量联系起来。 本节围绕一个问题展开：同一个模型中的回归系数、优势比和预测概率，分别在表达什么？学完后，你应能明确阳性结局，按单位和参考组解释优势比，并区分关联估计与概率预测。

2.3.1.1 先分清概率与优势

本节使用 MASS::birthwt 的189条母婴记录，结局 low＝1表示出生体重小于2500克，0表示其他；共59例阳性。模型纳入年龄 age（岁）、末次月经时母亲体重 lwt（磅）和孕期吸烟 smoke（0＝否，1＝是），这四列均完整。数据说明

先看真实记录中的计数。后面的完整代码用 table() 得到：


       0  1
  no  86 29
  yes 44 30

吸烟组有30例低出生体重、44例其他，阳性比例是 $30/(30+44)\approx0.4054$ 。若把发生与未发生的数量直接相比，则是 $30/44\approx0.6818$ 。前者是概率的样本估计，后者是优势的样本估计。

优势（odds）定义为 $p/(1-p)$ ，其中 $p$ 为阳性事件概率。它比较的是发生与未发生；概率则比较发生与全部观察。优势可以大于1，概率只能在0到1之间。

不吸烟组的优势为 $29/86\approx0.3372$ 。两组优势再相除，得到未经调整的优势比（odds ratio，OR）：

$OR_{\text{未调整}} =\frac{30/44}{29/86} \approx2.022。$

这个数值表示吸烟组低出生体重的优势约为不吸烟组的2.022倍。它描述的是当前两组的直接比较；接下来的回归还会同时考虑年龄和母亲体重。Bland与Altman对OR的说明可用于进一步区分优势与事件概率。

2.3.1.2 系数为什么要指数化

概率有上下界，不能简单地用一个不受限制的线性和表示。Logistic 回归先将概率变为对数优势，再把它与各变量联系起来。

对本节模型，可写成：

$\eta=\log\frac{p}{1-p} =\beta_0+\beta_{\mathrm{age}}\times\mathrm{age} +\beta_{\mathrm{lwt}}\times\mathrm{lwt} +\beta_{\mathrm{smoke}}\times I(\mathrm{smoke}=\mathrm{yes})。$

$p$ 是低出生体重的概率； $\eta$ 是对数优势，也称线性预测值。 $\beta_0$ 是截距，其余 $\beta$ 是回归系数。最后一项中，吸烟取1、不吸烟取0，因此不吸烟是参考组。这里连续变量线性关联的是对数优势，并不要求它们与概率呈直线关系。

保持其他入模变量相同，连续变量每增加一个原始单位，对数优势改变 $\beta$ ，优势乘以 $e^\beta$ ；所以该变量的 OR 为 $e^\beta$ 。分类变量的 OR 则比较相应类别与参考类别。先看单位和参考组，才能知道 OR 对应哪一次比较。

OR的比较对象是优势

“OR＝2.022”表示优势的倍数；概率之间的倍数还取决于起始概率。上面的真实计数中，两组阳性比例之比约为1.608，和OR的数值不同。

2.3.1.3 用固定公式拟合模型

下面的代码独立准备输入，显示原始系数表，再计算 OR、Wald 置信区间和一条真实记录的概率。变量按当前教学问题预先列入模型；代码不进行自动筛选。

if (!requireNamespace("MASS", quietly = TRUE)) {
  utils::install.packages("MASS", repos = "https://cloud.r-project.org")
}
utils::data("birthwt", package = "MASS")

# 结局low为数值0/1，1表示低出生体重。
model_formula <- low ~ age + lwt + smoke
smoking_levels <- c(0, 1)
smoking_labels <- c("no", "yes")       # no=不吸烟，是参考水平。
conf_level <- 0.95                    # OR的Wald置信水平；0.99通常给出更宽区间。
prediction_index <- 1L               # 使用第一条真实记录，不构造新病例。

# 只按结局与入模变量保留完整观察。
analysis_data <- birthwt[c("low", "age", "lwt", "smoke")]
analysis_data <- analysis_data[stats::complete.cases(analysis_data), , drop = FALSE]
analysis_data$smoke <- factor(
  analysis_data$smoke, levels = smoking_levels, labels = smoking_labels
)
# 固定处理对比：no为基准，系数smokeyes比较yes与no。
smoking_contrasts <- stats::contr.treatment(
  levels(analysis_data$smoke), base = 1L
)

# binomial指定二分类分布；logit连接概率的对数优势。
# 改用probit或cloglog后，exp(系数)不能沿用本节的OR解释。
model_fit <- stats::glm(
  model_formula, data = analysis_data,
  family = stats::binomial(link = "logit"),
  contrasts = list(smoke = smoking_contrasts),
  na.action = stats::na.fail,           # 缺失即停止，避免拟合时另行删行。
  singular.ok = FALSE                 # 不允许不可估计的线性依赖项。
)
coefficient_summary <- summary(model_fit)$coefficients
if (!isTRUE(model_fit$converged) || isTRUE(model_fit$boundary) ||
    any(!is.finite(coefficient_summary))) {
  stop("请先检查模型收敛、分离或不可估计问题。")
}

# 先在系数尺度构造Wald区间，再指数化为OR；截距不列入OR表。
report_terms <- setdiff(rownames(coefficient_summary), "(Intercept)")
or_table <- cbind(
  odds_ratio = exp(stats::coef(model_fit)[report_terms]),
  exp(stats::confint.default(model_fit, parm = report_terms, level = conf_level))
)

# response返回low=1的概率；link返回对数优势，二者尺度不同。
prediction_sample <- analysis_data[prediction_index, , drop = FALSE]
predicted_log_odds <- stats::predict(
  model_fit, newdata = prediction_sample, type = "link"
)
predicted_probability <- stats::predict(
  model_fit, newdata = prediction_sample, type = "response"
)
print(table(analysis_data$smoke, analysis_data$low))
print(coefficient_summary)
print(or_table)
print(prediction_sample)
print(predicted_log_odds)
print(predicted_probability)

公式 low ~ age + lwt + smoke 表示同时纳入三个变量，结局为 low。binomial(link = "logit") 指定二分类 Logistic 模型，系数表中的 smokeyes 对应吸烟相对于不吸烟。

confint.default() 使用 Wald 近似；直接调用 confint(model_fit) 通常采用轮廓似然方法，得到的区间可能不同。区间方法应与报告一致，提高 conf_level 会改变区间宽度，不会改变回归系数。

2.3.1.4 从原始系数表读到OR

summary(model_fit)$coefficients 实际返回：

               Estimate  Std. Error   z value   Pr(>|z|)
(Intercept)  1.36822527 1.014261616  1.348987 0.17734129
age         -0.03899458 0.032726110 -1.191543 0.23344030
lwt         -0.01213854 0.006134863 -1.978617 0.04785919
smokeyes     0.67076374 0.325877764  2.058329 0.03955854

先看 smokeyes 这一行，再认识各列：

R 字段	统计含义	本例怎样读
`Estimate`	回归系数，位于对数优势尺度	吸烟系数0.67076374，指数化后才是OR
`Std. Error`	系数估计的标准误	吸烟系数的标准误为0.325877764，描述系数估计的波动
`z value`	系数除以标准误	约2.058，衡量系数偏离0的程度
`Pr(>\\|z\\|)`	对系数等于0作双侧Wald检验的P值	吸烟项P约0.0396；这是系数检验，不是预测准确率

(Intercept) 是截距，参与概率计算。它对应年龄和体重均为0且不吸烟时的对数优势；这个取值组合缺乏本例医学解释，不应把截距指数化后当作某个风险因素的 OR。

指数化及区间计算返回：

         odds_ratio     2.5 %    97.5 %
age       0.9617559 0.9020038 1.0254663
lwt       0.9879348 0.9761269 0.9998856
smokeyes  1.9557304 1.0325744 3.7042189

这里的 2.5 % 和 97.5 % 是95%置信区间的两端；它们由系数区间指数化得到。以吸烟为例， $e^{0.67076374}\approx1.956$ ：在年龄与母亲体重相同的条件下，吸烟组出现低出生体重的优势估计为不吸烟组的1.956倍，95%置信区间约为1.033～3.704。这个调整后 OR 与前面的直接比较回答不同的问题。

age 的 OR 约0.962，按年龄每增加1岁解释；其区间包含1，数据仍与优势不变相容。lwt 的 OR 约0.9879，按母亲体重每增加1磅解释，区间约0.9761～0.9999。解释时要保留原单位；若希望按千克或较大的变化单位报告，应先统一输入尺度或相应换算，不能只改结果标签。

模型里的“调整”仅指纳入了所列变量，并不自动消除其他混杂。各项结果描述条件关联，因果效应需要相应的研究设计和识别假设。

2.3.1.5 把一条真实记录换算成概率

完整代码选取的记录如下，原数据行名为 85：

   low age lwt smoke
85   0  19 182    no

其母亲年龄为19岁、体重182磅、孕期不吸烟。该记录的观察结局为0，模型使用所有建模记录估计参数，再据此计算这条记录的概率。先得到对数优势：

       85
-1.581887

再通过 $p=1/(1+e^{-\eta})$ 转换回概率。这里 $\eta=-1.581887$ ，因此概率约为0.1705。type = "response" 直接返回：

       85
0.1705285

0.1705约为17.1%，对应的是结局 low = 1 的概率。单条观察的实际结局只有0或1，不能用它与预测概率是否接近来评价模型准确率。

拟合样本的概率不等于验证结果

这条记录参与了模型拟合，本节展示的是模型怎样计算概率。预测性能应通过适当的内部或外部验证，分别考察区分能力、校准和具体临床用途。相应模型评价专题待上线。

2.3.1.6 何时可以沿用这套解释

本节模型适用于独立观察的二分类结局。连续变量在对数优势尺度上的函数形式要合理，事件与非事件数量应能支持待估参数，不能仅按变量名称的个数判断模型复杂度。重复测量或聚类资料还需处理对象之间的相关性。

如果出现不收敛、系数极大或标准误异常，尤其某些类别完全预测结局时，应先检查类别分离和数据结构。Wald 区间依赖大样本近似，稀疏资料下可能不可靠；即使程序显示收敛，也仍需结合诊断判断估计是否可用。

用于实际预测的输入还应在预定预测时点可获得。本例的 bwt 直接定义 low，若把它加入预测变量，就把结局信息带回了输入。建立临床预测工具前，需要进一步明确目标人群、时点及验证方案。

若结局是连续指标、关心两组均值差，可回到1.5.1 t检验。将 Logistic 回归迁移到自己的数据，使用同编号代码碎片：先提供已编码的二分类数据，再配置变量角色和参考水平。

2.3.1.7 方法与操作来源

Bland JM, Altman DG. Statistics notes: The odds ratio. BMJ. 2000;320:1468.
R Core Team. Fitting Generalized Linear Models：分布族、连接函数及拟合。
R Core Team. Summarizing Generalized Linear Model Fits：系数表及标准误、z值和P值。
R Core Team. Confidence Intervals for Model Parameters与Predict Method for GLM Fits：区间方法与预测尺度。